Seine Ausbildung an der Königlichen Akademischen Hochschule für die bildenden Künste zu Berlin erhält Fritz Klimsch in der Zeichenklasse bei dem Maler Ernst Hancke und in der Modellierklasse bei Albert Wolff. Klimsch ist von 1887-1890 Schüler von Fritz Schaper. Erste bedeutende Arbeiten entstehen schon während des Studiums. Der junge Bildhauer gewinnt Preise und damit erste Bekanntheit.
Die Werke Rodins lernt der Bildhauer auf seiner Hochzeitsreise nach Paris kennen. Sie beeindrucken und beeinflussen ihn in ihrer großen Lebendigkeit in Form und Ausdruck sehr. Adolf von Hildebrand betrachtet Klimsch neben Rodin als den zweiten Paten seiner Kunst. Von Hildebrand ergänzt Rodins Lebendigkeit durch Architektonik und Statik und schafft so den Ausgleich, den Fritz Klimsch in seiner eigenen Bildhauerei als wichtig empfindet. 1898 gründet der Bildhauer mit Max Liebermann und Walter Leistikow die Berliner Sezession, auf deren Ausstellungen er zukünftig regelmäßig vertreten ist. Seinen Stil prägen Reisen nach Italien und Griechenland nachhaltig.
Mit Porträtarbeiten, Denk- und Grabmälern sowie Frauenakten ist Klimsch in der Folgezeit außerordentlich erfolgreich. Der Bildhauer fertigt zahlreiche Porträts von Persönlichkeiten des kulturellen und politischen Lebens (u. a. Ludwig Thoma, Lovis Corinth, Max Liebermann, Max Slevogt, Paul von Hindenburg). Mitglied der Preußischen Akademie der Künste wird Fritz Klimsch 1912 und 1916 Senator derselben. Fritz Klimsch erhält 1921 eine Berufung an die Akademische Hochschule für bildende Künste, wo er 1935 als Leiter des Meisterateliers in den Ruhestand versetzt wird.
Nach dem Krieg lässt sich der Künstler im Schwarzwald nieder, wo er zurückgezogen lebt und nur noch wenige, kleinformatige Werke schafft. Das Große Bundesverdienstkreuz erhält Fritz Klimsch 1960. Der Künstler verstirbt im selben Jahr.